¦íc lîng kho¶ng tin cËy

Khoảng tin cậy là một dãy giá trị mà trong đó các tham số của tổng thể như số trung bình ((), tỉ lệ (p) và phương sai ((2) cần được ước lượng nằm trong khoảng này. Ứơc lượng khoảng tin cậy là một hình thức dự báo trong thống kê, một chỉ tiêu kinh tế nào đó có thể được ước lượng tại một điểm nào đó (dự báo điểm) hay nằm trong một khoảng nào đó (dự báo khoảng) với độ tin cậy cho trước.

Ví dụ: Với độ tin cậy 90%, một mẫu gồm 16 quan sát có trung bình

từ một tổng thể có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn s = 6 thì trung bình tổng thể ( có giá trị trong khoảng từ 17,4675 đến 22,5325.

Khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể được ước lượng dựa vào giá trị được quan sát của trung bình mẫu. Ðặt ( là một tham số chưa biết của tổng thể. Giả sử rằng chúng ta dựa vào thông tin của mẫu quan sát, tìm những biến ngẫu nhiên A và B sao cho:

và 100 (1 - ()% là khoảng tin cậy cho (, khoảng này sẽ chứa các tham số của tổng thể.

Giả sử rằng chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát từ một phân phối chuẩn với trung bình ( và phương sai (2, và trung bình mẫu là Ġ. Một khoảng tin cậy 100 (1- ()% cho trung bình tổng thể ( được xác định như sau:

Ví dụ: Một qui trình sản xuất đường tinh chế. Trọng lượng của những bao đường có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 1,2kg. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 bao có trọng lượng trung bình mỗi bao 19,8 kg.

Tìm khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình tổng thể được sản xuất bởi qui trình.

a	0,005	0,01	0,025	0,05	0,1
Z_a	2,575	2,33	1,96	1,645	1,28

Vậy, khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình của tất cả các bao đường của qui trình sản xuất nằm trong khoảng từ 19,33kg đến 20,27kg. Như ta mong đợi, trung bình mẫuĠlà điểm giữa của khoảng chứa đựng (, thì khoảng rộng w chứa đựng tham số sẽ là:

Trong trường hợp mẫu quan sát lớn, ta có thể sử dụng công thức (6.1) để tính khoảng tin cậy cho tham số (tổng thể nhưng thay độ lệch chuẩn của tổng thể ( bằng độ lệch chuẩn của mẫu (Sx):

Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 1562 sinh viên ghi danh học môn Marketing đã được hỏi để trả lời trong phạm vi từ 1 (không đồng ý) đến 7 (hoàn toàn đồng ý) với câu nói: Hầu hết các quảng cáo đều đánh lừa sự thông minh của khách hàng.. Ðiểm trả lời có trung bình mẫu là 3,92 và độ lệch chuẩn là 1,57. Tìm một khoảng tin cậy 99% cho trung bình tổng thể.

Như vậy, khoảng tin cậy 99% cho trung bình sự trả lời của sinh viên nằm trong khoảng từ 3,82 đến 4,02, nghĩa là sinh viên có xu hướng đồng ý câu nói trên.

Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể ((2), ta có thể sử dụng biến ngẫu nhiên t với (n -1) độ tự do của phân phối Student thay cho biến ngẫu nhiên Z và tính giống như trong trường hợp biết phương sai (2 nhưng thay độ lệch chuẩn tổng thể bằng độ lệch chuẩn mẫu. Các điều kiện khác và giả sử giống như phần (II).

Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 kiện hàng được chọn ra từ tất cả các kiện hàng được sản xuất bởi nhà máy trong một tuần. Trọng lượng của 6 kiện hàng lần lượt như sau (kg):

Tìm khoảng tin cậy 90% cho trọng lượng trung bình tổng thể của tất cả các kiện hàng của nhà máy, giả sử phân phối của tổng thể là phân phối chuẩn.

Kiện hàng (i)	Trọng lượng (kg) (x_i)	(x_i²)
1	18,6	345,96
2	18,4	338,56
3	19,2	368,64
4	20,8	432,64
5	19,4	376,36
6	20,5	420,25
Tổng cộng	116,9	2282,41

Vì vậy, khoảng tin cậy 90% cho trọng lượng trung bình của tất cả các kiện hàng nằm trong khoảng từ 18,67 kg đến 20,29kg.

Chú ý: Trong điều kiện như nhau, nếu khoảng tin cậy (KTC) càng lớn thì khoảng ước lượng giá trị càng lớn, càng kém chính xác.

ÐặtĠ là tỉ lệ được quan sát của mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát từ một tổng thể. Khoảng tin cậy 100 (1-() % cho tỉ lệ p của tổng thể được tính bởi:

· Nếu tất cả các điều kiện khác không thay đổi, n càng lớn thì khoảng chứa đựng p càng hẹp, ước lượng càng chính xác hơn.

· Nếu tất cả các điều kiện khác không thay đổi, khoảng tin cậy càng lớn thì khoảng biến thiên giữa hai giá trị ước lượng của p càng lớn, ứơc lượng khó chính xác.

Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 73 lãnh đạo ngân hàng được hỏi câu hỏi sau: Trong mỗi ngành thường phải chấp nhận những rủi ro trong kinh doanh. Vậy, ngân hàng của bạn có bất kỳ thực tế nào mà bạn xem như không đúng nguyên tắc, nội qui và đạo lý. Kết quả có 39 câu trả lời không. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể những lãnh đạo ngân hàng trả lời không.

Vì vậy, khoảng tin cậy 95% cho phần trăm của tất cả các lãnh đạo ngân hàng nói chung nhận thấy trong ngành của mình không có những rủi ro trong kinh doanh do không làm đúng nguyên tắc và đạo lý là khoảng từ 42% đến 64,8%.

Giả sử rằng chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n cặp quan sát từ những phân phối với trung bình (x và (y. ÐặtĠ và Sd là trung bình và độ lệch chuẩn của n sự khác biệt di= xi - yi. Nếu phân phối của những khác biệt này là phân phối chuẩn thì

Ví dụ: Trọng lượng của các kiện hàng (kg) được sản xuất bởi hai phân xưởng trong một nhà máy được cho trong bảng dưới đây:

Kiện hàng	Phân xưởng A	Phân xưởng B
(i)	(x_i: kg)	(y_i: kg)	d_i= x_i - y_i	d_i²
1	19,4	19,6	- 0,2	0,04
2	18,8	17,5	1,3	1,69
3	20,6	18,4	2,2	4,84
4	17,6	17,5	0,1	0,01
5	19,2	18,0	1,2	1,44
6	20,9	20,0	0,9	0,81
7	18,3	18,8	- 0,5	0,25
8	20,4	19,2	1,2	1,44
Tổng cộng			6,2	10,52

Vì vậy, khoảng tin cậy 99% cho sự chênh lệch trọng lượng trung bình tổng thể của mỗi kiện hàng được sản xuất từ hai phân xưởng nằm trong khoảng - 0,342 kg đến 1,892 kg. Khoảng này chứa đựng giá trị 0, điều này cho ta đoán rằng có sự bằng nhau về trọng lượng trung bình mỗi kiện hàng được sản xuất từ hai phân xưởng.

Giả sử có hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có nx và ny quan sát từ những phân phối chuẩn có trung bình (x và (y và phương sai (x2 và (y2 . Nếu trung bình mẫu làĠ vàĠ thì khoảng tin cậy 100 (1 - () % cho ( (x - (y) được tính:

Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 96 người hút thuốc lá, lượng giờ trung bình của những người nghỉ việc không có lý do là 2,15 giờ trong tháng và độ lệch chuẩn là 2,09 giờ/ tháng. Một mẫu ngẫu nhiên độc lập khác gồm 206 người không hút thuốc lá, lượng giờ trung bình của những người nghỉ việc là 1,69 giờ/tháng, độ lệch chuẩn của mẫu là 1,91 giờ/ tháng. Tìm khoảng tin cậy 99% cho sự khác biệt của hai trung bình tổng thể.

Trong khoảng từ - 0,19 đến 1,11 chứa giá trị 0, có nghĩa là những bằng chứng trong tài liệu không đủ mạnh để bác bỏ sự phán đoán rằng số người nghỉ việc trung bình của cả hai nhóm người này là bằng nhau.

Ví dụ: Một nghiên cứu về hiệu quả trong việc hoạch định tài chánh của ngân hàng. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 nhà hoạch định cho rằng tốc độ tăng thu nhập trung bình hàng năm là 9,972% và độ lệch chuẩn là 7,470. Một mẫu ngẫu nhiên độc lập gồm 9 ngân hàng không có hệ thống hoạch định chính thức có tốc độ tăng thu nhập trung bình hàng năm là 2,098% và độ lêch chuẩn là 10,834. Giả sử rằng hai phân phối tổng thể có cùng phương sai, tìm khoảng tin cậy 90% cho sự khác biệt giữa hai trung bình.

Vậy khoảng tin cậy 90% cho sự khác biệt giữa tốc độ tăng thu nhập trung bình hai tổng thể bao gồm cả giá trị 0 (nghĩa là tốc độ tăng thu nhập là bằng nhau của hai tổng thể), nhưng tài liệu mẫu cho thấy khả năng hai trung bình này bằng nhau thì rất nhỏ.

ÐặtĠ là tỉ lệ của mẫu có nx quan sát từ một tổng thể với tỉ lệ px;vàĠ là tỉ lệ của mẫu có ny quan sát từ một tổng thể với tỉ lệ py. Ta có khoảng tin cậy 100 ( 1 - ( )% của sự khác biệt giữa px và py:

Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 98 kế toán viên, trong đó 48 người đồng ý rằng Mỗi một chương trình kế toán nên có một phần mềm ứng dụng riêng biệt và đó cũng là đòi hỏi của tất cả kế toán viên. Một mẫu ngẫu nhiên độc lập gồm 127 giáo viên kế toán, 21 người đồng ý với điều này. Tìm khoảng tin cậy 95% cho sự khác biệt giữa hai tỉ lệ của tổng thể những người sẽ đồng ý với luận điểm trên.

Kết luận: Sự thật rằng khoảng 20,7% đến 44,3% đồng ý với yêu cầu trên nhưng những nhà kế toán thích có một phần mềm ứng dụng riêng biệt hơn là các giáo viên.

Chúng ta đã phát triển những phương pháp để tìm khoảng tin cậy cho một tham số của tổng thể trên cơ sở thông tin của mẫu. Theo một tiến trình như vậy, một nhà điều tra có thể tin rằng nếu khoảng tin cậy mang lại kết quả quá rộng thì phản ánh một điều không mong muốn, bởi vì nó không chắc chắn cho tham số đang được ước lượng. Một cách điển hình, chỉ có một hướng để đạt được khoảng hẹp hơn với độ tin cậy cao hơn là tăng số quan sát hay tăng cỡ mẫu (n lớn hơn).

Trong một số trường hợp, các nhà điều tra có thể cố định trước độ rộng của khoảng tin cậy, chọn n vừa đủ lớn để đảm bảo độ rộng đó. Vậy làm thế nào cỡ mẫu có thể được chọn theo hướng này cho hai vấn đề ước lượng khoảng.

Giả sử rằng một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát từ một phân phối chuẩn có trung bình ( và phương sai (2. Một khoảng tin cậy 100 (1 - ()% cho trung bình tổng thể và một khoảng cách L =Ġ cho mỗi bên của trung bình mẫu thì số quan sát (cỡ mẫu) là :

Ví dụ : Chiều dài của những que kim loại được sản xuất bởi một qui trình công nghệ cao có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 1,8mm. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 9 quan sát từ tổng thể này, khoảng tin cậy 99% cho ước

lượng trung bình tổng thể là 194,65 < ( < 197,75 thì được tìm ra cho chiều dài trung bình tổng thể. Giả sử một quản đốc sản xuất thì tin rằng khoảng cách thì quá rộng cho việc sử dụng thực tế và yêu cầu thay thế một khoảng tin cậy 99% không được mở rộng hơn 0,5mm cho mỗi bên của trung bình mẫu. Hãy tìm cỡ mẫu để đạt được khoảng cách như vậy?

Vì vậy, để thỏa mãn yêu cầu của quản đốc phân xưởng chúng ta cần một cỡ mẫu ít nhất phải là 86 quan sát. Tuy nhiên, trong thực tế sự tăng lên trong cỡ mẫu thì yêu cầu chi phí cao hơn để đạt được sự ước lượng cho trung bình tổng thể có khoảng tin cậy hẹp hơn.

Giả sử rằng một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát, một khoảng tin cậy 100 (1- ()% cho tỉ lệ tổng thể p được cho bởi công thức trên và khoảng cách cho mỗi bên của tỉ lệ mẫu là :

Tuy nhiên tỉ lệĠ không thể được lớn hơn 0,25 (giá trị khi tỉ lệ mẫu là 0,5). Vì vậy, giá trị có thể lớn nhất cho L là

Nếu sau đó một nhà điều tra muốn chọn một cỡ mẫu lớn hơn có ý nghĩa cho việc bảo đảm khoảng tin cậy không rộng hơn khoảng cách L* cho mỗi bên của tỉ lệ mẫu.

Ví dụ: Trở lại ví dụ về những nhà lãnh đạo ngân hàng trả lời không về việc chấp nhận những thực tế trong kinh doanh dựa trên 73 quan sát và chúng ta đã tính khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ của tổng thể là:

Giả sử chúng ta muốn chắc chắn một khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể không lớn hơn 0,06 cho mỗi bên của tỉ lệ mẫu thì cỡ mẫu của chúng ta sẽ là bao nhiêu?

Vậy để chắc chắn đạt được khoảng tin cậy hẹp hơn, ít nhất chúng ta phải chọn n = 267.

1. Một quá trình sản xuất gạch, trọng lượng những viên gạch nầy được giả sử có phân phối chuẩn có độ lệch chuẩn 0,12kg. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 viên gạch vừa sản xuất ra trong ngày có trọng lượng trung bình 4,07kg.

a. Tìm khoảng tin cậy 99% của trọng lượng trung bình của tất cả các viên gạch trong ngày?

b. Không cần tính toán, khoảng tin cậy 95% thì trung bình tổng thể sẽ rộng hơn, hẹp hơn hay bằng với kết quả câu a?

c. Không cần tính toán, một mẫu ngẫu nhiên gồm 20 viên gạch sẽ được chọn ra trong ngày mai. Khoảng tin cậy 99% thì trọng lượng trung bình tổng thể của tất cả các viên gạch sản xuất ra trong ngày mai sẽ lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng như trong câu a?

d. Sự thật rằng, độ lệch chuẩn của các viên gạch sản xuất trong ngày mai là 0,15kg, không cần tính toán, khoảng tin cậy 99% thì trọng lượng trung bình tổng thể của tất cả các viên gạch sản xuất ra trong ngày mai sẽ rộng hơn, hẹp hơn hay bằng như trong câu a?

2. Một quản đốc biết rằng lượng tạp chất trong các kiện sản phẩm có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn bằng 3,8 g. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 9 kiện hàng được kiểm tra và thấy lượng tạp chất như sau (g):

a. Tìm khoảng tin cậy 90% cho trọng lượng trung bình của tạp chất trong tổng thể?

b. Không cần tính toán, nếu khoảng tin cậy 95% thì trung bình tổng thể sẽ rộng hơn, hẹp hơn hay bằng như trong câu a?

3. Một trường đại học lớn đang quan tâm về lượng thời gian sinh viên tự nghiên cứu mỗi tuần. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 sinh viên, có thời gian nghiên cứu trung bình 18,36 giờ/tuần và độ lệch chuẩn là 3,92 giờ. Giả sử rằng thời gian nghiên cứu của sinh viên trong mẫu nghiên cứu có phân phối chuẩn.

a. Tìm khoảng tin cậy 90% cho lượng thời gian tự nghiên cứu trung bình mỗi tuần cho tất cả sinh viên trường đại học này?

b. Không cần tính toán, trung bình tổng thể khi ước lượng sẽ rộng hơn hay hẹp hơn với ba điều kiện sau:

· Mẫu gồm 30 sinh viên được chọn ra, với tất cả các điều kiện khác giống như câu a?

· Ðộ lệch chuẩn của mẫu 4,15 giờ, tất cả các điều kiện khác giống như câu a?

· Trong trường hợp khoảng tin cậy 80%, tất cả các điều kiện khác giống như câu a?

4. Tổ chức quốc gia thực hiện một cuộc điều tra về thời điểm đào tạo chuyên môn sâu cho các thành viên là kế toán viên. 21,1% của 171 người trả lời rằng tháng 5 là tháng tốt nhất cho việc đào tạo này. Tìm khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ tổng thể của các thành viên với đề nghị này ?

5. Một cuộc điều tra được thực hiện của những người bán hàng ở các cửa hàng về thái độ và mong muốn của những khách hàng lớn tuổi. Một mẫu nhiên gồm 232 khách hàng tuổi từ 65 trở lên, 25% đã chỉ ra rằng họ mong muốn có sự quan tâm nhiều hơn cho khách hàng lớn tuổi. Họ đặt câu hỏi như sau: Những công ty và các cửa hàng có thể làm gì để giúp quí ông, quí bà một cách tốt nhất. Một mẫu ngẫu nhiên khác gồm 106 khách hàng khác, tuổi từ 55 - 64, 19,8% trong số nầy cũng muốn được đáp ứng mong muốn của mình. Tìmû khoảng tin cậy 90% cho sự khác biệt giữa hai tỉ lệ của hai tổng thể trên?